830. Орлов А.И., Луценко Е.В. О развитии системной нечеткой интервальной математики // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / Редкол.: Бажанов В.А. и др. – Москва, Центр стратегической конъюнктуры, 2013. – С.190–193.

Орлов Александр Иванович, д.т.н., д.э.н., к.ф.-м.н., профессор
Московский государственный технический университет  имени Н.Э. Баумана
Московский физико-технический институт,
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения»
Луценко Евгений Вениаминович, д.э.н., к.т.н., профессор
Кубанский государственный аграрный университет

О развитии системной нечеткой интервальной математики

Кратко рассмотрим перспективы и некоторые «точки роста» современной теоретической и вычислительной математики. По нашему мнению, сложившиеся понятия и теории должны быть модернизированы для адекватного отражения запросов прикладных научных исследований.
С достаточным основанием можно констатировать, что числа и множества - основа современной математики. Однако вопросы применения этих понятий заслуживают обсуждения. 
Необходимо различать математические, прагматические и компьютерные числа, поскольку их свойства различны. Первые традиционно используются в математике. Их бесконечно много. Вторые получают при записи результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов). Прагматических чисел – конечное число, как и компьютерных (поскольку существует компьютерный нуль). Тождества для математических чисел не всегда выполняются для прагматических. Расходящийся ряд математических чисел может превратиться в сходящийся для компьютерных.
Не останавливаясь на проблемах аксиоматизации наивной теории множеств («парадокс брадобрея», теоремы Геделя и др.), отметим, что границы реальных совокупностей зачастую размыты. Этот факт был известен еще в Древней Греции (парадокс «Куча»). Э. Борель предложил описывать реальные совокупности функциями принадлежности, а Л. Заде и его последователи развили математический аппарат теории нечетких (размытых, расплывчатых, туманных, пушистых) множеств. Возникла возможность «нечеткого удвоения» математики: заменяя обычные числа и множества на нечеткие, получаем новые математические объекты (например, нечеткие классификации, т.е. нечеткие аналоги отношений эквивалентности), некоторые свойства которых отличаются от свойств исходных объектов. Доказан цикл теорем [1] о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств, однако при математическом моделировании реальных явлений и процессов теория нечеткости и теория вероятностей обычно рассматриваются как различные математические теории, со своим специфическим инструментарием.
Интервальное число является частным случаем нечеткого множества (с функцией принадлежности, равной 1 внутри некоторого интервала и равной 0 вне его). С 1960-х годов бурно развивалась интервальная математика (и интервальная математическая статистика [2]). Заменяя обычные числа интервальными, получаем возможность создавать «интервальное удвоение» математики. В интервальной математической статистике получены результаты (связанные с понятиями нотны и рационального объема выборки), которым нет аналогов в «обычной» математической статистике [2].
Система есть множество элементов, взаимосвязанных друг с другом, что дает системе новые качества, которых не было у элементов. Множество – это система, в которой сила взаимодействия между элементами равна нулю. Следовательно, все понятия и теории, основанные на понятии множества, допускают обобщение путем замены понятия множества на понятие системы и тщательного прослеживания всех последствий этой замены. Другими словами, возможно системное обобщение математики. При этом возникают различные интересные задачи. Отметим системное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов); системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости.
Важным для приложения является понятие когнитивной функции. Такая функция содержит информацию не только о соответствии значений функции значениям аргумента, как абстрактная математическая функция, но и о достоверности высказывания о том, что именно такое их соответствие имеет место в действительности, причем эта достоверность меняется от одних значений аргумента и функции к другим. Когнитивные функции являются наглядным графическим отображение наших знаний о причинно-следственных связях между интервальными или лингвистическими значениями аргумента и интервальными или лингвистическими значениями функции. Разработаны теоретические основы и программное обеспечение системно-когнитивного анализа [3].
Введено и изучено понятие матрицы знаний как нечеткого (с расчетной степенью истинности) отображения системы аргументов на систему значений функции. Разработана модификация метода наименьших квадратов при аппроксимации когнитивных функций. Развита идея системного обобщения математики в области теории информации - системная (эмерджентная) теория информации. Введены информационные меры уровня системности - коэффициенты эмерджентности. Как обобщение теории правдоподобных рассуждений Д.Пойа рассмотрены прямые и обратные, непосредственные и опосредованные правдоподобные логические рассуждения с расчетной степенью истинности.
Объединяя различные рассмотренные выше направления обобщения классических основ математики, получаем теорию, которую естественно назвать системной нечеткой интервальной математикой (СНИМ). 
В программной системе «Эйдос» был реализован ряд разделов СНИМ. За более чем 30 лет применения эта система хорошо показала себя при проведении научных исследований в различных предметных областях и занятий по ряду научных дисциплин, связанных с искусственным интеллектом, представлениями знаний и управлением знаниями [4]. Однако в процессе эксплуатации системы были выявлены и некоторые недостатки. Поэтому создана качественно новая версия системы (система Эйдос-Х++), в которой преодолены ограничения и недостатки предыдущей версии и реализованы новые важные идеи по ее развитию и применению в качестве программного инструментария системно-когнитивного анализа [5].
Система Эйдос-Х++ является программным инструментарием, реализующим ряд идей системного нечеткого интервального обобщения математики.

Литература
1. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. – 576 с.
2. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование. Ч.1. Нечисловая статистика. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 541 с.
3. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем). – Краснодар:  КубГАУ. 2002. – 605 с.
4. Луценко Е.В. 30 лет системе «Эйдос» – одной из старейших отечественных универсальных систем искусственного интеллекта, широко применяемых и развивающихся и в настоящее время // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ). 2009. – №10(054). С. 48 – 77. 
5. Луценко Е.В. Универсальная когнитивная аналитическая система «Эйдос-Х++» // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ). 2012. – №09(083). С. 328 – 356.